Проблема выбора средней

Курсовая работа по курсу “общей теории статистики“

Выполнил студент Кириллов М.В. группа ИБ-203

Московский международный университет бизнеса и информационных технологий

РњРѕСЃРєРІР°

1998

СУЩНОСТЬ И ЗНАЧЕНИЕ СРЕДНЕЙ ВЕЛИЧИНЫ.

Большое распространение в статистике коммерческой деятельности имеют средние величины. В средних величинах отображаются важнейшие показатели товарооборота, товарных запасов, цен. Средними величинами характеризуются качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.

Средняя — это один из распространенных приемов обобщений. Важность средних величин для статистической практике и науки отмечалось в работах многих ученых. Так, английский экономист В. Петти (1623-1677) при рассмотрении экономический проблем широко использовал средние величины. В частности, он предлагал использовать в качестве меры стоимости затраты на среднее дневное пропитания одного взрослого работника. Его не смущала абстрактность средней, то, что данные, относящиеся к конкретным людям, могут не совпадать со средней величиной. Он считал устойчивость средней величины как отражение закономерности изучаемых явлений и полагал, что можно реконструировать информацию при отсутствии достаточного объема исходных данных (метод косвенных расчетов).

Весьма широко применял средние и относительные величины английский ученый Г. Кинг (1648 - 1712) при анализе данных населении Англии (средний доход на одну семью, средний душевой доход и т.д.).

Теоретические разработки бельгийского статистика А. Кетле (1796-1874), внесшего значительный вклад в разработки теории устойчивости статистических показателей, основаны на противоречивости природы социальных явлений — высоко устойчивых в массе, вместе с тем сугубо индивидуальных.

Согласно Кетле, постоянные причины действуют одинаково (постоянно) на каждое изучаемое явления. Именно они делают эти явления похожими друг на друга, создают общее для всех их закономерности.

Следствием учения А. Кетле об общих и индивидуальных причинах явилось выделения средних величин в качестве основного приема статистического анализа. Он подчеркивал, что статистические средние представляют собой не просто меру математического измерения, а категорию объективной действительности. Типическую, реально существующую среднюю он отождествлял с истинной величиной, отклонения от которой могут быть только случайными.

Ярким выражением изложенного взгляда на среднюю является его теория “ среднего человека “. Средний человек — это человек, наделенный всеми качествами в среднем размере. Этот человек будет иметь средний рост и вес, среднюю быстроту бега, среднюю смертность и рождаемость, среднюю наклонность к браку и самоубийству, преступлениям, к добрым делам и т.д. Для Кетле “ средний человек “ не простая абстракция. Это идеал человека. Не состоятельность антинаучной теории “ среднего человека “ Кетле была доказана в русской статистической литературе еще в конце прошлого столетия. Известный русский статистик Ю. Э. Янсон (1835-1893 г.г.) писал, что Кетле предполагает существования в природе типа среднего человека как чего-то данного, от которого жизнь отклонила “средних человеков“ данного общества и данного времени, а это, естественного приводит его к совершенно механическому взгляду и на законы движения социальной жизни: движение - это не есть развитие, а есть постепенное возрастания средних свойств человека постепенное восстановление типа; следовательно, такое нивелирование всех проявлений жизни социального тела, за которым всякое поступательное движение прекращается.

Однако сущность этой теории нашла отражение в работах ряда теоретиков статистики как теория “ истинных величин “. У Кетле были последователи — немецкий статистик и экономист Лексис (1837-19014), перенесший теорию “ истинных величин “ на экономическими явления общественной жизни. Его теория известна под названием “ теория устойчивости “. Другая разновидность идеалистической теории средних основана на философии махизма. Ее основатель английский статистик А. Боули (1869-1957); является одним из самых видных теоретиков новейшего времени в области теории средних величин. Его концепция средних величин изложена в книге “ Элементы статистики “. А. Боули рассматривает средние величины лишь с количественной стороны, там самым отрывает количество от качества. Определяя значение средних или, как он выражается, “ их функцию “, Боули на первый план выдвигает махистский принцип мышлений. Так, он писал, что функция средних ясна: она заключается в том, чтобы выражать сложную группу при помощи немногих простых чисел. Ум не в состоянии сразу охватить величины миллионов статистических данных, они должны быть сгруппированы, упрощены, приведены к средним. Взгляд на метод средних как на технический прием упрощений цифровых материалов разделяли Р. Фишер (1890-1968), Дж. Юл (1871 - 1951), Фредерик С. Миллс (родился 1892) и др.

В 30-е и последующие годы средняя величина все чаще стала рассматриваться как социально значимая характеристика, информативность которой зависит от однородности данных. Однако зарубежная статистика не ставит вопрос о связи между средними величинами по разным признакам, не рассматривает системы средних.

 Виднейшие представители итальянской школы Бенини (1862-1956) и Коррадо Джини (1884-1965), считая статистику отраслью логики, расширили область применения статистической индукции. Причем познавательные принципы логики и статистики они связывали с природой изучаемых явлений, следуя традициям социологической трактовки статистики.

Правильное понимания сущности средней определяет ее особую значимость в условиях рыночной экономики, когда средняя через единичное и случайное позволяет выявить общее и необходимое, выявить тенденцию закономерностей экономического развития.

Средние величины — это обобщающие показатели, в которых находят выражения действие общих условий, закономерность изучаемого явления.

Статистические средние рассчитываются на основе массовых данных правильно статистически организованного массового наблюдения (сплошного или выборочного). Однако статистическая средняя будет объективна и типична, если она рассчитывается по массовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений). Пример не типичной средней хорошо показан в рассказе Глеба Успенского “ Живые цифры “. Там средний доход определялся сложением 1 млн. миллионера Колотушкина и 1 гроша просвирни Кукушкиной, и получалось, что он составил 0,5 млн. руб.. Например, если рассчитывать среднюю заработную плату в кооперативах и на госпредприятиях, а результат распространить на всю совокупность, то средняя фиктивна, т.к. рассчитана по неоднородной совокупности, и такая средняя теряет всякий смысл.

При помощи средней происходит как бы сглаживание различий в величине признака, которые возникают по тем или иным причинам у отдельных единиц наблюдения.

Например, средняя выработка продавца зависит от многих причин: квалификации, стажа, возраста, формы обслуживания, здоровье и т.д. Средняя выработка отражает общее свойства всей совокупности.

Средняя величина - величина абстрактная, потому что характеризует значение абстрактной единицы, а значит, отвлекается от структуры совокупности.

Средняя абстрагируется от разнообразия признака у отдельных объектов. Но то, что средняя является абстракцией, не лишает ее научного исследования. Абстракция есть необходимая ступень всякого научного исследования. В средней величине, как и во всякой абстракции, осуществляется диалектическое единство оттененного и общего.

Применение средних должно исходить из диалектического понимания категорий общего и индивидуального, массового и единичного.

Средняя отражает то общее, что складывается в каждом отдельном, единичном объекте благодаря этому средняя получает большое значение для выявления закономерностей присущих массовым общественным явлениям и незаметных в единичных явлениях.

Отклонение индивидуального от общего — проявление процесса развития. В отдельных единичных случаях могут быть заложены элементы нового, передового. В этом случае именно конкретных фактор, взятые на фоне средних величин, характеризует процесс развития. Поэтому в средней и отражается характерный, типичный, реальный уровень изучаемых явлений. Характеристики этих уровней и их изменений во времени и в пространстве являются одной из главных задач средних величин. Так, через средние проявляется, например, свойственная предприятиям на определенном этапе экономического развития; изменение благосостояния населения находит свое отражение в средних показателях заработной платы, доходов семьи в целом и по отдельным социальным группам, уровня потребления продуктов, товаров и услуг.

Однако в маркетинговой деятельности нельзя ограничиваться лишь средними цифрами, т.к. за общими благоприятными средними могут скрываться крупные серьезные недостатки в деятельности отдельных подразделений предприятия, акционерного общества.

Средний показатель — это значение типичное (обычное, нормальное, сложившееся в целом), но таковым оно является по тому, что формируется в нормальных, естественных условиях существования конкретного массового явления, рассматриваемого в целом. Средняя отображает объективное свойство явления. В действительности часто существует только отклоняющиеся явления, и средняя как явления может и не существовать, хотя понятие типичности явления и заимствуется из действительности. Такое понимание типичности пришло из геометрии — круг как вписанный или описанный многоугольник с бесконечным увеличивающимся числом сторон (в действительности не возможно бесконечное увеличение числа сторон). Бесконечная — математическое понятие, а не существующая величина и исключает возможность всякого увеличения Ґ + 1 = Ґ. Другой пример, качание маятника тяготеют к своей оси, но не совпадают с ней.

Индивидуальные значения изучаемого признака у отдельных единиц совокупности могут быть теми или иными (например, цены у отдельных продавцов). Эти значения не возможно объяснить, не прослеживая причинно- следственные связи. Поэтому средняя величина индивидуальных значений одного и того же вида есть продукт необходимости. Он является результатом совокупного действия всех единой совокупности, который проявляется в массе повторяющихся случайностей, опосредуемых общими условиями процесса.

Распределение индивидуального значения изучаемого признака порождает случайность его отклонения от средних, но не случайно среднее отклонение, которое равно нулю.

Образцом научной значимости диалектики случайного и необходимого в области общественных явлений служат учению К. Маркса. В “ Капитале “ на примере перехода от одной формы стоимости товара к другой он показывает основное содержания трансформации случайного в необходимое. При случайной форме стоимости случайным выглядит и то количественное соотношение, в котором обмениваются два продукта при случайной встрече их владельца, когда отношения владельцев продуктов единичны. Естественный переход случайной формы стоимости в более полную (развернутую) происходит, когда отдельный товар вступает в отношения не с одним товаром другого вида, а “ совсем товарным миром “. В этом случае меновые отношения регулируются величиной стоимости и отношение двух индивидуальных товаровладельцев не случайны. При всеобщей форме стоимости все множество товаров находится в общественном отношении с одним и тем же товаром, и отношения товаровладельцев становится всеобщим. Обмен повторяется постоянно, а стоимость выражает то общее, что имеется у данного товара со всеми остальными товарами. Индивидуальное время, затрачиваемое на изготовления товаров, имеет значение для их владельцев лишь постольку, поскольку оно соответствующим образом может быть сведено к общественно необходимому времени, которое утверждается с абсолютной необходимостью, а по природе своей является средним.

Приведенный пример, а также многие другие примеры трансформации случайности в необходимость позволяют сделать вывод о том, что средние значения определенных признаков в массовых явлениях продукт необходимости.

Каждое наблюдаемое индивидуальное явление обладает признаками двоякого рода — одни имеются во всех явлениях, только в различных количествах (рост, возраст человека), др. признаки, качественно различные в отдельных явлениях, имеются в одних, но не встречаются в других (мужчина не может быть женщиной). Средняя величина вычисляется для признаков, присущих всем явлениям в данной совокупности, для признаков качественно однородных и различных только количественно (средний рост, средняя зарплата).

Средняя величина является отражения значения изучаемого признака и, следовательно, измеряется в той же размеренности что и этот признак. Однако существуют различные способы приближенного определения уровня распределения численности для сравнения сводных признаков, непосредственно не сравнимых между собой, например средняя численность населения по отношению к территории (средняя плотность населения). В зависимости от того, какой именно фактор нужно элиминировать, будет находиться и содержание средней.

Сочетание общих средних с групповыми средними дает возможность ограничить качественно однородные совокупности. Расчленяя массу объектов, составляющих то или иное сложное явления, на внутренне однородные, но качественно различные группы, характеризуя каждую из групп своей средней, можно вскрыть резервы процесс нарождающегося нового качества. Например, распределения населения по доходу позволяет выявить формирование новых социальных групп.

Теория диалектического материализма учит, что не одно явления не останется неизменным, что все в мире меняется, развивается. Меняются и те признаки, которые характеризуются средними, а, следовательно, и сами средние.

В общественной жизни происходит не прерывный процесс нарождения нового. Носителем нового качества сначала являются единичные объекты, а затем количество этих объектов увеличивается, и новое становится массовым, типичным.

Отклонения от средней и противоположные стороны являются результатом борьбы противоположностей, одна из которых должна поддерживаться, другая, наоборот, преодолеваться.

Каждая средняя величина характеризует изучаемою совокупность по какому-либо одному признаку. Чтобы получить полное и всестороннее представление об изучаемой совокупности по ряду существенных признаков, в целом необходимо располагать системой средних величин, которые могут описать явление с разных сторон так, изменения доходов торговых предприятий характеризуют показатели среднего оборота на одно предприятия, среднего размера дохода на одно предприятия, среднего уровня доходности и др.

Тогда общая тенденция видна более отчетливо, т.е. здесь нет уже действия тех разнообразных условий, которые определяли размер дохода каждого предприятия.

ВИДЫ СРЕДНИХ МЕТОДЫ ИХ РАСЧЕТА.

В практике статистической обработки материала возникают различные задачи, имеются особенности изучаемых явлений, и поэтому для их решения требуются различные сведения.

Средняя, рассчитанная по совокупности в целом называется общей средней, средние, исчисленные для каждой группы — групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику размера явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.

Например, статистическое изучение рождаемости и среднего количества детей в семье на территории бывшего СССР проводилось в региональном аспекте (по союзным республикам). Традиционно более высокая рождаемость была в Средней Азии и Закавказье по сравнению с Центральными районами России. Среднее количество детей в семье, исчисленное по каждому региону — это групповые средние, а соответственно исчисленное по всей территории СССР — общая средняя.

Сравнительный анализ групповых и общих средних используется для характеристики социально-экономических типов изучаемого общественного явления. В частности, при изучении рождаемости большое значение имеет характеристика этого процесса по общественным группам населения региона.

Групповые средние используются для изучения закономерности развития общественных явлений. Так, в аналитических группировках анализ групповых средних позволяет сделать вывод о наличии и направлении взаимосвязи между группированным (факторным) признаком и результативном показателем.

Групповые средние широко применяются также при определении имеющихся использованных резервов производства, когда на ряду со средними величинами рассматриваются и индивидуальные значение признака.

Существуют две категории средних величин:

1.Степенные средние К ним относятся:

1. средняя арифметическая

2. средняя гармоническая

3. средняя геометрическая

2.Структурные средние

1. РјРѕРґР°

2. медиана

Выбор того или иного вида средней производится в зависимости от цели исследования, экономической сущности в усредняемого характер имеющихся исходных данных.

Рассмотрим пример. Известны значения месячной заработной платы рабочих бригады за октябрь 1995 года

Таблица 1

Требуется определить среднюю месячную заработную плату рабочих бригады (X)

Общая сумма заработная плата всех рабочих

Это определяющий показатель, исчисленный как сумма индивидуальных значений заработной платы Х каждого рабочего, другими словами — это фонд оплаты их труда который может быть записан алгебраически:

Определяющий показатель, выраженный математическим, называется определяющей функцией.

 Определяющей функции соответствует уравнение средних, где индивидуальная заработная плата каждого рабочего заменена средней заработной платой, по сколько такая замена не сказывается на общей сумме оплаты труда всех рабочих бригады — определяющего показателя:

Зная определяющую функцию и уравнение средних

 или 

получаем формулу:

Где Хi — индивидуальное значение признака каждой единицы совокупности;

n — число единиц совокупности.

Таким образом, средняя месячная заработная плата одного рабочего бригады вычисляемая по формуле:

Если бы все единицы изучаемой совокупности развивались под действием одних общих условий и на них не действовали никакие “случайные“ факторы, то величина признака у каждой единицы — индивидуальное значение месячной заработной платы — была бы одинаковой, равной 855 тыс. руб. и обеспечивала величину итогового показателя: 855 тыс. руб.*10 чел. = 8550 тыс. руб.

Итак, при выборе вида средней величины обычно исходят из логической сущности усредняемого признака и его взаимосвязи с итоговым (определяющим) показателем. Величина итогового показателя не должна изменятся при замене индивидуальных значений признака средней величины.

Способность средних величин сохранять свойства статистических совокупностей называют определяющим свойством.

Общая формула степенной средней записывается следующим образом:

С изменением показателя степени К выражение данной функции меняется, и в каждом отдельном случае приходим к определенному виду средней.

Запишем формулы степенных средних, придавая К значения: -1,0,1,2.

При К = -1 получим среднюю гармоническую величину:

При К = 0 получим среднюю геометрическую величину:

Для раскрытия неопределенности прологарифмируем обе части степенной средней:

и подставим К = 0, получим

т.е. неопределенность типа 0 / 0.

Для ее раскрытия используем правило Лопиталя и найдем (lim (ln X)) как предел отношения производных по k числителя и знаменателя в правой части равенства

РџСЂРё k В® 0

Таким образом, при k= 0,

после потенцирования

При К = 1 получим среднюю арифметическую:

При К=2 среднюю квадратическую:

и т.д. для любой степени.

Приведенные выше формулы простых средних применяются в случае, если индивидуальные значения усредняемого признака не повторяются.

Однако, когда в практических исследованиях отдельные значения изучаемого признака встречаются несколько раз у единиц исследуемой совокупности, тогда частота повторения индивидуальных значений признака (вес) присутствует в расчетных формулах степенных средних. В этом случае они называются формулами взвешенных средних и имеют и имеют следующий вид:

средняя гармоническая:

средняя геометрическая:

средняя арифметическая:

средняя квадратическая:

где fi - частота повторения индивидуального значения признака (его вес)

Весом может быть частость, т.е. отношение частоты повторения индивидуального значения признака к сумме частот:

Известно, что степенные средние разных видов, исчисленные по одной и той же совокупности, имеют различные количественные значения. И чем больше показатель степени К, тем больше и величина соответствующей средней:

Это свойства степенных средних возрастать с повышением показателя степени определяющей функции называется мажорантностью средних.

К средним величинам, кроме степенных средних, относят также моду и медиану.

Для вычисления степенных средних необходимо использовать все имеющиеся значения признака. Мода и медиана определяются лишь структурой распределения. Поэтому их именуют структурными позиционными средними. Медиану и моду часто используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где расчет средней степенной невозможен или нецелесообразен.

Например, выборочное обследование в одном из районов Москвы 12 коммерческих пунктов обмена валюты позволило зафиксировать различные цены за доллар при его продажи (данные на 10 октября 1995 г. при биржевом курсе доллара — 4493 руб.)

Таблица 2

В силу того, что данными об объеме продаж в каждом обменном пункте мы не располагаем, расчет средней арифметической с целью определения средней цены за доллар нецелесообразен. Однако можно определить то значение признака, которое делит единицы ранжированного ряда на две части. И такое значение носит название медианы.

Медиана лежит в середине ранжированного ряда и делит его пополам.

Расчет медианы по несгруппированным данным производится следующим образом:

1. расположим индивидуальные значения признака в возрастающим порядке:

2. определим порядковый номер медианы по формуле:

В нашем случае:

Это означает, что медиана в данном случае расположена между шестым и седьмым значениями признака в ранжированном ряду, т.к. ряд имеет четное число индивидуальных значений. Таким образом, Ме равна средней арифметической из соседних значений: 4550, 4560.

3. Рассмотрим порядок вычисления медианы в случае не четного числа индивидуальных значений.

Допустим, мы наблюдали не 12, а 11 пунктов обмена валюты, тогда ранжированный ряд будет выглядеть следующим образом (отбрасываем 12 пункт):

Находим номер медианы:

,

на шестом месте стоит Х = 4560, который и являются медианой Ме = 4560 руб.

Мода — Это наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности. Она соответствует определенному значению признака.

В нашем случае модальной ценной за доллар можно назвать 4560 руб. это значение повторяется 4 раза, чаще, чем все другие. На практике моду находят, как правило, по сгруппированным данным. Определить величину моды в первичном ряду в точном соответствии с данными правилом возможно только при достаточно большом количестве наблюдений и при условии, что одно из индивидуальных значений изучаемого признака у отдельных единиц совокупности повторяется значительно чаще, чем все другие значения.

Методология расчета моды и медианы по сгруппированным данным рассмотрим по таблице.

Таблица 3

Группировка банков по величине их прибыли

 (данные 1994 года)

Мода (Мо) — наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности — для данного ряда распределения. В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться только мода или медиана. Для определения их величины используются следующие формулы:

где ХMe — нижняя граница медианного интервала;

 h — величина интервала;

 S(-1) — накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

 fMe — частота медианного интервала.

где Х — начало модального интервала;

 fMo — частота, соответствующая модальному интервалу;

 f(-1) — предмодальная частота;

 f(+1) — послемодальная частота.

Используя данные примера, приведенные в таблице 3, рассчитаем медиану. По накопленным частотам определяем, что медиана находится в интервале 5,5 — 6,4. Тогда

Таким образом, 50 % банков имеют прибыль менее 6,175 млрд. руб, а 50 % банков более 6,175 млд. руб.

Наибольшая частота соответствует также интервалу 5,5 — 6,4, т.е. мода должна находится в этом интервале. Приведенная формула моды может быть использована в вариационных рядах с равными интервалами.

Таким образом, в данной совокупности наиболее часто встречается размер прибыли 6,10 млрд. руб.

СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ДРУГИЕ СТЕПЕННЫЕ СРЕДНИЕ.

В статистической практике из всех перечисленных видов средних чаще всего используется средняя арифметическая. Ее расчет осуществляется по-разному для несгруппированных и сгруппированных данных. Рассмотрим пример.

Требуется вычислить средний стаж работы 12 работников рекламного агентства. При этом известны индивидуальные значения признака (стажа) в годах: 6,4,5,3,3,5,5,6,3,7,4,5.

Как видно, средняя арифметическая может оказаться дробным числом, если даже индивидуальные значения признака заданы только целыми числами. Это вытекает из сущности средней арифметической, которая есть величина абстрактная (теоретическая), т.е. она может принимать такое числовое значения, которое не встречается в представленной совокупности индивидуальных значений признака.

Под средней арифметической понимается такое значение признака, которое имело бы каждая единица совокупности, если бы общий итог всех значений признака был распределен равномерно между всеми единицами совокупности.

Отметим, что в этом примере одно и тоже значение признака встречается несколько раз. Объединив данные по величине признака и подсчитав число случаев повторения каждого из них, проведем расчет среднего стажа по сгруппированным данным с помощью формулы средней взвешенной арифметической.

Таблица 4

Легко заметить, что средняя арифметическая взвешенная, по которой производился расчет в рассмотренном примере, не имеет принципиальных отличий от простой средней арифметической (среднее, рассчитанные по разным формулам совпадают), просто суммирование f раз одного и того же значения признака (варианта) заменено в ней умножением варианта на f.

Однако естественно, что при этом величина средней зависит уже не только от величины индивидуальных значений признака (как в простой средней арифметической), но и от соотношения их весов (частот). Чем большие веса имеют малые значения вариантов, тем меньше величина средней и наоборот.

При расчете средних по сгруппированным данным следует учитывать, что большое значение имеет обоснование и выбор веса при расчете средней арифметической взвешенной. Приведем пример. Имеются данные о доли экспорта в стоимости товарной продукции предприятий, выпускающие минеральные удобрения.

Таблица 5

Средняя доля экспорта, исчисленная как средняя арифметическая взвешенная по числу предприятий, является формальной средней

Логически обоснованным можно считать выбор в качестве весов объемов товарной продукции в каждой группе предприятий с определенной долей экспорта, поскольку доля экспорта получается деление объема экспорта на товарную продукцию предприятия.

Теперь, в числители мы получили общую стоимость экспортной продукции, а в знаменателе — общую стоимость всей товарной продукции (6 предприятий). Таким образом, в результате расчета определенна средняя доля экспорта предприятий исследуемой совокупности, равная 0,24 (24 %).

Средняя арифметическая взвешенная применяется также при вычислении общей средней для всей совокупности из частных (групповых) средних. Например, одним из современных индикаторов качества жизни населения являются его вклады на счета государственных и коммерческих банков с целью получения дополнительных доходов. Располагая данными о числе вкладчиков и размере вклада за 1-й квартал 1995 г. по трем филиалам Сбербанка одного района города, определим средний размер вклада (на 30.03.95).

Таблица 6

Для определения среднего остатка вклада по трем филиалам в целом следует общую сумму остатков по вкладам для всех вкладчиков разделить на общее число вкладчиков. Использую таблицу, имеем формулу:

где Хi — среднее значение признака по каждой группе (в нашем примере — средний остаток по вкладу отдельного филиала);

wi  — веса средней (число вкладчиков по каждому филиалу).

Средняя арифметическая обладает некоторыми свойствами, которые определяют ее широкое применение в экономических расчетах и в практике статистического исследования.

Свойство 1. Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной А = А при А const.

Свойство 2. (нулевое) Алгебраическая сумма линейных отклонений (разностей) индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю:  для первичного ряда и  для сгруппированных данных (di — линейное (индивидуальные) отклонения от средней, т.е. ). Это свойство можно сформулировать следующим образом: сумма положительных отклонений от средней равна сумме отрицательных отклонений. Логически оно означает, что все отклонения от средней в ту или другую сторону, обусловленные случайными причинами, взаимно погашаются.

Свойство 3 (минимальное). Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической есть число минимальное:  или

 , где , что означает: сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака каждой единицы совокупности от средней арифметической всегда меньше суммы квадратов отклонений вариантов признака от любого значения (А), сколь угодно отличающегося от средней у выбранной единицы исследуемой совокупности.

Для сгруппированных данных имеем:  или .

Минимальное и нулевое свойства средней арифметической применяются для проверки правильности расчета среднего уровня признака; при изучении закономерностей уровня ряда динамики; для нахождения параметров уравнения регрессии при изучении корреляционной связи между признаками.

Рассмотренные свойства выражают сущностные черты средней арифметической. Существуют также расчетные (вычислительные) свойства средней арифметической, имеющие прикладное значение:

Если значения признака каждой единицы совокупности (все усредняемые варианты) уменьшить или увеличить на одну и ту же величину А, то и со средней арифметической произойдут аналогичные изменения;

если значения признака каждой единицы совокупности разделить или умножить на какое-либо постоянное число А, то средняя арифметическая уменьшится или увеличится в А раз;

если вес (частоту) каждого значения признака разделить на какое-либо постоянное число А, то средняя арифметическая не изменится.

В настоящее время вычислительные свойства средней арифметической потеряли свою актуальность в связи с использованием ЭВТ при расчете обобщающих статистических показателей.
Средняя гармоническая величина, как и средняя арифметическая может быть простой и взвешенной. Если веса у каждого значения признака равны, то можно использовать среднюю гармоническую простую:

Однако в статистической практике чаще применяется средняя гармоническая взвешенная. Она используется, как правило, при расчете общей средней из средних групповых.

На основе имеющихся данных по трем филиалам Сбербанка города за 2-й квартал 1995 г. имеем (на 30.06.95) таблицу

 Таблица 7

Для определения среднего остатка вклада по трем филиалам в целом необходимо общую сумму остатков по вкладам разделить на общее число вкладчиков. Число вкладчиков по каждому филиалу вычисляется делением общей суммы остатков по вкладам на средний остаток по вкладу. Используя таблицу, расчет среднего остатка по вкладу в целом для всей совокупности банков выполним по формуле:

Так как наблюдались одни и те же филиалы банков, можно проследить динамику среднего остатка по вкладам (или среднего вклада) во 2 квартале по сравнению с первым. Средний остаток по срочному вкладу с ежемесячной выплатой дохода увеличился на 49,7%((2,74/1,83)*100 - 100 %), что составило 910 тыс. руб. Причины, которые могли повлиять на это изменение, прежде всего количество вкладчиков, увеличение суммы вкладов, а также процентные ставки банка.

Логическая формула вытекает из сущности средней, ее социально-экономического содержания. Средняя величина признака — это отношение. Поэтому прежде чем оперировать цифрами, нужно выяснить, соотношением каких показателей является средняя в данном конкретном случае. Это исходное соотношение необходимо записать словами в виде формулы, которую и называют логической формулой средней.

После того как записана логическая формула средней, которую нужно вычислить, необходимо внимательно рассмотреть имеющиеся для вычисления данные и заменить словесные обозначения числителя и знаменателя логической формулы средней соответствующими цифровыми данными, после чего остается только провести необходимые вычисления.

Этот принцип обеспечивает правильный выбор формы средней, а, следовательно, и правильное определение величины средней. И еще одно важное свойство принципа логической формулы в том, что здесь не возникает проблема выбора весов средней.

При применении средней геометрической индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, и построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики (причем временные отрезки ряда динамики одинаковы). Средняя характеризует, таким образом, средний коэффициент роста.

Средняя геометрическая величина используется также для определения равноудаленной величины от максимального и минимального значений признака.

Формула средней квадратической используется для измерения степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения. Так, при расчете показателей вариации среднюю вычисляют из квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической величины.

Список литературы

Общая теория статистики, А.А. Спирин, О.Э Башина

Общая теория статистики, Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В. Н.

Общая теория статистики, Овсиенко В. Е .

Теория статистики, П.А. Шмойлова

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.ed.vseved.ru/