Иррациональные уравнения и неравенства

Колегаева Елена Михайловна, доцент кафедры математических методов  и информационных технологий ДВАГС

I. Преобразование иррациональных выражений.

Иррациональным называется выражение, содержащее корни n-ой степени.

1) Одно из типичных преобразований иррациональных выражений – избавление от иррациональности в знаменателе.

а) Если в знаменателе стоит выражение вида , то необходимо числитель и знаменатель умножить на сопряженное к нему выражение . В этом случае применяется формула .

б) Если в знаменателе стоит выражение  (или ), то числитель и знаменатель умножается, соответственно, на  (или ). В этом случае применяются формулы

,

.

Пример 1. Избавиться от иррациональности в знаменателе:

Р°) ;В В В В  Р±) ;В В В В  РІ) ;В В В В  Рі) ; Рґ) ;В В В В  Рµ) .

Решение:

Р°) ;

Р±) ;

РІ) ;

Рі) ;

Рґ) ;

Рµ)

.

Отметим еще одно свойство:

которое часто применяется в преобразованиях.

Пример 2. Упростить выражение:

Р°) ;В В В В  Р±) ;В В В В  РІ) .

Решение:

Р°) , С‚.Рє. .

Р±) , С‚.Рє. .

РІ)

.

Выясним, при каких n выражения под знаком модуля меняют знак: n=-1, n=1, n=0.

1) Если n

2) Если -1Јn

3) Если 0

4) Если nі1, то

Ответ:

II. Иррациональные уравнения.

Рассмотрим уравнение вида .

Основной метод решения – возведение обеих частей уравнения в степень n. При этом, если n – четное, то могут возникнуть посторонние корни. Поэтому в уравнениях необходимо делать проверку.

Если уравнение содержит два и больше корней, то один из корней «уединяется», то есть уравнение приводится к виду .

Еще один способ решения – введение вспомогательной переменной.

Пример 3. Решить уравнения:

Р°) ;

Р±) ;

РІ) ;

Рі) .

Решение:

а)    Ы   ;

Проверка.

  Ю х=-4 – посторонний корень,

   – верно Ю х=2 – корень.

Ответ: х=2.

Р±)

Проверка.

   –  это выражение не существует, т.е.

 – посторонний корень,

  – верно Ю  – корень.

Ответ: .

РІ)

Введем вспомогательную переменную  Ю x2=t2–13

t2-13-2t=22; t2-2t-35=0,

t1=7; t2=-5.

Сделаем обратную замену:

В Р« С…2+13=49 Р« С…2=36 Р® С…=В±6,

 – не имеет решений.

Ответ: х=±6.

Рі)

Сделаем замену переменной. Положим . Тогда уравнение примет вид:

В Р« В Р«

В Р® В Р« В Р« В Р« .

Проверка показывает, что  – корень.

Ответ: .

III. Решение иррациональных неравенств.

При решении этих неравенств следует помнить, что в четную степень можно возводить неравенства с неотрицательными членами.

Поэтому неравенство  эквивалентно системам

 или

Неравенство  равносильно системе

Пример 4. Решить неравенства:

Р°) В Р±)

РІ) В Рі)

Решение.

Р°) В Р« В Р«

Решим третье неравенство системы методом интервалов:

x2-5x-14>0

x2-5x-14=0

(x-7)(x+2)>0

Найдем пересечение решений трех неравенств:

Ответ: -18Јx

Р±)

если х-1Ј0, то неравенство верно, то есть хЈ1;

если x-1>0 и так как x2+1>0, возводим обе части в квадрат. Имеем:

В Р« В Р« x>1.

Объединяем два решения, получим х – любое.

Ответ: х – любое.

РІ)

В Р« В Р« В Р«

В Р« В Р«

Ответ: хі1.

Рі)

  или 

В 

В 

В Р« С…С–3

В В 

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения

Уважаемые ребята, ниже приводятся задания для самостоятельного решения, которые следует выполнить, оформить отдельно от заданий по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы.

Наш адрес: 680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ ( ХКЗФМШ).

М11.9.1. Упростить:

1) В 2) В 3)

4) , если , m>0, 0

М11.9.2. Решить уравнения

;

;

;

.

М11.9.3. Решить неравенства:

;

;

;

.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.khspu.ru