Шарапов Алексей Анатольевич
Последние несколько лет РјРѕРё научные интересы были связаны РІ РѕСЃРЅРѕРІРЅРѕРј СЃ развитием общих методов квантования систем СЃ нелинейной геометрией фазового пространства Рё приложением этих методов Рє различным задачам теоретической физики. Дело РІ том, что практически РІСЃРµ интересные модели фундаментальных взаимодействий (включая Стандартную модель, Рйнштейновскую гравитацию, теорию струн Рё РїСЂ.) - это теории СЃ калибровочной симметрией или, РІ более широком контексте, гамильтоновыми системами СЃРѕ СЃРІСЏР·СЏРјРё. Последнее означает, что эффективная динамика РІ этих моделях развивается РЅРµ РІРѕ всем фазовом пространстве, Р° лишь РЅР° некоторых поверхностях, оснащенных нелинейными скобками Пуассона. Нелинейность СЃРєРѕР±РѕРє Пуассона, Р° также нетривиальность глобальной геометрии эффективного фазового пространства создают серьезные трудности РїСЂРё построении последовательного квантовомеханического описания таких моделей Рё требуют привлечения весьма изощренных математических методов, РЅРµ входивших ранее РІ стандартный набор инструментов теоретической физики.
С другой стороны, исследования в данной области теоретической физики породили новые идеи и конструкции, оказавшие значительное воздействие на развитие математической мысли. Несколько упрощая, можно сказать, что работа нашей научной группы была направлена на "глобализацию" методов БРСТ-квантования (наиболее разработанной схемы квантования калибровочных теорий общего вида) и их "синтез" с методами деформационного квантования, получившими большое развитие в математике в самое последнее время.
Следует отметить, что приложение методов деформационного квантования к теоретико-полевым моделям приводит к необходимости решить ряд специфических вопросов, выходящих за рамки чисто формальной математической процедуры. Например, наличие квантовых расходимостей в теории поля делает нетривиальным вопрос о выборе правильной схемы квантования даже для полей с простой геометрией. В настоящее время принято считать, что последовательное квантование теоретико-полевых моделей должно основываться на представлении операторов рождения-уничтожения, то есть виковском символе для полевых операторов. К сожалению, для большинства физических моделей такое представление известно лишь на уровне свободных полей, а вклад взаимодействия учитывается пертурбативно. Несмотря на известные достижения пертурбативной теории поля, такое разложение на свободную часть и взаимодействие не всегда адекватно физической ситуации, так как может разрушать фундаментальные симметрии исходной классической модели. Важными примерами здесь могут служить нелинейные сигма-модели, в частности струны в пространствах ненулевой кривизны.
Мы развили общий геометрический подход к построению виковского квантования на общих симплектических многообразиях, оснащенных виковской поляризацией. Мы также изучили геометрию таких многообразий и нашли явные когомологические препятствия к эквивалентности вейлевского и виковского квантований. В частности, для случая кэлеровых многообразий нам удалось показать, что оба упомянутых типа квантования эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующее кэлерово многообразие является многообразием Калаби-Яу. В последующей работе мы обобщили данную схему квантования на случай присутствия в теории дополнительных связей второго рода.
Р’ настоящее время концепция деформационного квантования рассматривается РЅРµ только как эффективный инструмент квантования уже сформулированных физических моделей, РЅРѕ Рё как метод построения новых. Р’ качестве последних примеров такого СЂРѕРґР° можно упомянуть калибровочные модели РЅР° некоммутативных пространствах Рё теории высших СЃРїРёРЅРѕРІ. Здесь теория деформационного квантования тесно сближается СЃ идеями некоммутативной геометрии, являясь, РїРѕ существу, основным методом конструирования некоммутативных пространств РЅР° РѕСЃРЅРѕРІРµ коммутативных. Р’ русле развития этих идей РјС‹ предложили модель Р±РѕР·РѕРЅРЅРѕР№ струны СЃ некоммутативной геометрией РјРёСЂРѕРІРѕРіРѕ листа. Ключевое наблюдение, лежащее РІ РѕСЃРЅРѕРІРµ этой конструкции, состояло РІ том, что РІСЃРµ пререквизиты, необходимые для построения деформации (симплектическая структура Рё связность), уже содержатся РІ РёСЃС…РѕРґРЅРѕР№ теории РІ форме метрики Полякова, которая, таким образом, определяет геометрию РјРёСЂРѕРІРѕР№ поверхности струны Рё ее деформацию. Другая интересная особенность этой модели - замечательная аналогия между уравнениями движения некоммутативной струны Рё уравнениями РЇРЅРіР°-Миллса. Рспользование этой аналогии позволило нам найти Рё описать широкий класс точных решений, являющихся струнными аналогами инстантонов РЇРЅРіР°-Миллса. Также было показано, что наличие некоммутативности эквивалентно включению взаимодействия Р±РѕР·РѕРЅРЅРѕР№ струны СЃ бесконечным мультиплетом фоновых полей, подчиненных условиям W-симметрии.
Как правило, РІ рамках гамильтоновой механики нелинейные СЃРєРѕР±РєРё Пуассона возникают РЅРµ сами РїРѕ себе, Р° ассоциируются СЃ теми или иными алгебраическими/геометрическими структурами, например СЃ РіСЂСѓРїРїРѕР№ симметрии фазового пространства. Большой запас нелинейных СЃРєРѕР±РѕРє Пуассона, связанных СЃ дополнительными симметриями, доставляют интегрируемые системы, начиная СЃ хрестоматийного волчка Рйлера Рё заканчивая группами Пуассона-Ли "одевающих преобразований" солитонных уравнений. Р’ этой СЃРІСЏР·Рё встает РІРѕРїСЂРѕСЃ Рѕ построении специальных типов квантования, согласованных СЃ этими дополнительными структурами. РњС‹ предложили ковариантный метод квантования СЃРєРѕР±РѕРє Пуассона, ассоциированных СЃ классическим уравнением РЇРЅРіР°-Бакстера, являющийся некоторым далеко идущим обобщением квантования Федосова.
Оказалось, что данная схема квантования допускает чисто алгебраическую переформулировку и может быть использована, например, для построения квантовых групп и би-алгебр Ли. В частности, предложенное в этой работе *-произведение решает в общем виде задачу о нахождении универсальной деформационной формулы, известной ранее лишь для очень специальных классов алгебр Ли. В дальнейшем на основе БРСТ-теории мы обобщили схему квантования на случай (нерегулярных) скобок Пуассона, ассоциированных с симплектическими алгеброидами Ли. Попытка распространить данный метод на произвольные пуассоновы многообразия вскрыла ряд новых дифференциально-геометрических конструкций, по-видимому неизвестных ранее в математике, обобщающих понятие квазисимплектического многообразия на случай n-алгеброидов Ли (алгеброидов с высшими нетривиальными гомотопиями). Квантование алгебры наблюдаемых на таких многообразиях представляется очень интересным и многообещающим направлением исследований.
Еще одно направление моей научной деятельности, никак не связанное с предыдущим, - исследование проблемы реакции излучения и перенормировки в классической теории поля с сингулярными источниками. В простейшей постановке этой задачи речь идет об описании эффективной динамики точечного заряда с учетом радиационного трения (при неравномерном движении, как известно, любой заряд с необходимостью излучает и, следовательно, теряет энергию). Хотя для массивной заряженной частицы, движущейся в четырехмерном пространстве-времени, эта задача была решена еще Дираком (соответствующее уравнение называется теперь уравнением Лоренца-Дирака), безмассовый случай, а также случаи высших измерений оставались не изученными до самого последнего времени. Мы построили соответствующие обобщения уравнения Лоренца-Дирака и при этом обнаружили новые интересные моменты. Например, эффективные уравнения движения для безмассовой частицы имеют более высокий порядок, чем для массивной, а учет самодействия частицы в пространстве большего числа измерений не сводится к перенормировке ее массы, но требует вовлечения дополнительных контр-членов, не имеющих аналогов в исходной теории. Последнее обстоятельство указывает, в частности, на ограниченность традиционного отождествления проблемы самодействия точечной частицы с проблемой "собственной массы".
Рсследование эффективных уравнений движения для безмассовой частицы показало, что учет реакции излучения РїСЂРёРІРѕРґРёС‚ Рє нестабильности классической динамики РІ пределе выключения взаимодействия. Рто может теоретически объяснить отсутствие экспериментальных данных Рѕ существовании таких частиц РІ РїСЂРёСЂРѕРґРµ. Р’ дальнейшем РјС‹ использовали этот РїРѕРґС…РѕРґ для построения эффективного действия Рё уравнений движения для протяженных релятивистских объектов (p-бран), взаимодействующих СЃ полями (p+1)-форм. Было показано, что РїСЂРё регулярном вложении РјРёСЂРѕРІРѕР№ поверхности браны РІ объемлющее пространство РІСЃРµ возникающие расходимости являются лагранжевыми Рё РјРѕРіСѓС‚ быть сокращены Р·Р° счет введения конечного числа контр-членов. РљСЂРѕРјРµ того, РјС‹ нашли специальные типы неминимального взаимодействия, для которых эффективные уравнения движения СЂ-браны оказываются локальными Рё лагранжевыми. Р’ дальнейшем предполагается распространить эти результаты РЅР° случай взаимодействия СЂ-браны СЃ динамическим фоном гравитации, скалярными полями Рё РїСЂ. РњС‹ предполагаем, что наложение условия взаимного сокращения расходимостей может стать эффективным критерием отбора фундаментальных моделей взаимодействия.
Список литературы
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://elementy.ru/