Рќ.Р.Пичугин
Ученые-математики вот уже 400 лет безуспешно бьются над доказательством теоремы Ферма. Они категорически отрицают доказательство теоремы элементарными способами. Столь длительные попытки доказательства, по-видимому связаны с отсутствием регулярной работы над темой и малой ее актуальной значимостью. Ведь нашли же российские ученые при крайней нужде, в срочном порядке, методы защиты отечественных кораблей от магнитных мин противника. Некоторые ученые считали доказательство теоремы даже неразрешимой задачей. Тем не менее, наконец в 1995 году обнародовано доказательство теоремы Ферма английским ученым А.Уайлсом. Оно базируется на последние достижения математической науки и является по существу результатом коллективного труда определенного круга математиков, работающих в различных направлениях математических исследований.
Рђ.Уайлс РІ своем доказательстве РёСЃС…РѕРґРёС‚ РёР· того, что теорема Ферма вписывается, является следствием гипотезы Таниямы Рѕ модулярных эллиптических образованиях. Такое заключение сделано РЅР° основании ограниченного количества точек x,y,z РёР· теоремы Ферма, которые позволяют утверждать автору, что эти точки характиризуют РІСЃРµ сочетания x,y,z Рё n РІ качестве причастных Рє модулярным эллиптическим кривым. Доказательство Рђ. Уайлса – сложное Рё трудоемкое, С‚.Рє. потребовалось доказать справедливость самой теоремы Таниямы Рё причастность элементов теоремы Рє модулярным эллиптическим кривым. РџСЂРё этом становится неясным: то ли доказывается справедливость гипотезы Таниямы СЃ помощью недоказанной теоремы Ферма, то ли доказывается теорема Ферма СЃ помощью недоказанной гипотезы Таниямы. Доказательство любой теоремы должно базироваться РЅР° общепризнанных постулатах. Доказательство Рђ. Уайлса занимает 150 страниц печатного текста Рё изложено специальным математическим языком, мало доступным большинству интересующихся. РќРѕ главный его недостаток – РѕРЅРѕ РЅРµ является прямым Рё непосредственным. Вызывает сомнение отсутствие взаимосвязи показателей степеней n>2 СЃРѕ степенями n=1 Рё 2 , РЅРµ показана распространенность условий теоремы Ферма РїРѕ плоскости XOY Рё РІ частности РЅР° целые отрицательные числа. РЇ РЅРµ берусь подвергать сомнению РїРѕРґРѕР±РЅРѕРµ доказательство, РЅРѕ считаю необходимым утверждать, что любые три точки xn ,yn ,zn РјРѕРіСѓС‚ вписываться РІ степенные числовые СЂСЏРґС‹, РІ треугольники Пифагора или, как будет показано ниже, станут исходными РїСЂРё доказательстве теоремы элементарными методами. Рто свидетельствует Рѕ том, что доказательство теоремы Ферма СЃ помощью модулярных элептических кривых РЅРµ является единственно возможным Рё приемлемым РІ общем РІРёРґРµ. РњРѕРіСѓС‚ появиться Рё РґСЂСѓРіРёРµ доказательства, РІ том числе Рё СЃ использованием элементарной математики.
После опубликования доказательства Рђ.Уайлса РІ математических журналах РІ интернете появляются новые доказательства любителей математики, что свидетельствует Рѕ РёС… неугасающем интересе Рє теме Рё стремлении Рє РїРѕРёСЃРєСѓ более простого Рё доступного Рє пониманию непосредственного доказательства теоремы Ферма. Ртот процесс РІ большинстве своем РЅРµ преследует каких-либо корыстных целей, Р° скорее всего РЅРѕСЃРёС‚ бескорыстный спортивный или престижный характер.
Вопреки мнению ученых математиков, ниже предлагается Рє обсуждению официальным лицам РёР· института РёРј. Р’.Рђ. Стеклова Рё любителям математики РёР· Рнтернета компактный, практически РЅР° 2-С… страницах СЃРїРѕСЃРѕР± элементарного доказательства теоремы Ферма РІ общем РІРёРґРµ, основанный РЅР° разложении уравнений Ферма РїРѕ Р±РёРЅРѕРјСѓ Ньютона РЅР° его составляющие. Рто позволяет после преобразования уравнений Ферма
xn +yn =zn (1)
Рє РІРёРґСѓ
(x - a)n + xn - (x+b)n = 0 (2) где x, a и n – целые числа, а b - целое или нецелое число, в зависимости от соотношения x, a и n; одновременно:
- упростить доказательство, сведя его к одному неизвестному;
- Выяснить взаимосвязь b с параметрами x, a и n;
- определить структурную формулу для x в поисках целых решений при всех показателях степеней n; - выявить причину образования нецелых z при n>2;
- показать, что на плоскости XOY уравнения Ферма имеют нецелые решения для z при n>2, как для положительных, так и для отрицательных чисел x и y , за исключением квадрантов II и IV при нечетных n, где теорема Ферма не имеет смысла.
Ртак, приступим Рє разложению уравнений (2) РїРѕ Р±РёРЅРѕРјСѓ Ньютона относительно основополагающего параметра x:
(x–a)n + xn = 2xn - nxn-1 a + cn2 xn-2 a2 - cn3 xn-3 a3...... +an
-(x+b)n = xn +nxn-1 b + cn2 xn-2 b2 + cn3 xn-3 b3.......+bn
Δ= xn - nxn-1 (a+b) + cn2 xn-2 (a2-b2) - cn3 xn-3 (a3+b3)…+(an+bn) =0 (3)
Мы получили основное уравнение (3) для поиска целых решений z
Упростим уравнение (3), приняв в нем а=b=1,2,3…. При этом доказательство теоремы сводится к решению задачи с одним неизвестным х (обоснование принятия а=b=1,2,3… см. ниже). В этом случае выражение (3) после решения его относительно х примет вид:
xn = 2nxn-1 a + 2cn3 xn-3 a3 + 2cn5 xn-5 a5 + ... (an + an )… (4)
Обозначим через P(a,n) = 2cn3 xn-3 a3 + 2cn5 xn-5 a5 +... ( an + an ) - добавку после первых двух членов уравнения (4). Тогда оно примет вид: xn = 2nxn-1 a + P(a,n). Разделив левую и правую части уравнения (5) на xn-1 , получим искомое структурное выражение для х:
x=2na+P(a,n)/xn-1 (5)
РІ котором 2na – целое число, Р° добавка P(a,n)≥0 – функция, РѕС‚ которой зависит доказательство теоремы Ферма. РџСЂРё P(a,n)=0 для n =1Рё 2 имеют место решения z РІ целых числах; для n>2 P(a,n)>0 Рё z РїСЂРё решении получаются нецелыми. Р’ этом заключаются отличия уравнений Ферма степеней n=1 Рё 2 РѕС‚ уравнений степеней n>2. Следовательно, доказательство теоремы Ферма сводится Рє доказательству того, что функция P(a,n)/xn-1 РїСЂРё n>2 всегда является нецелым числом.
Перед доказательством предварительно введем понятие исходных x,y,z, играющих основополагающую роль РїСЂРё доказательстве. Собственно РІ РѕСЃРЅРѕРІРЅРѕРј РІСЃРµ доказательство теоремы сводится Рє доказательству ее РїСЂРё исходных x,y,z. РР· допущений Р°=b=2,3,4… примем Р°=b=1. РўРѕРіРґР° получим
x=2n+P(1,n)/xn-1 y=x-1 Рё z=x+1 (6)
Рти параметры Рё будем считать исходными РїСЂРё доказательстве теоремы Ферма. Другие параметры x,y,z, соответствующие выражению Р°=b=2,3,4…повторяют результирующие характеристики исходных x,y,z РЅР° более удаленных С… , пропорционально числам 2,3,4.
Возвращаясь к доказательству, предварительно сократим числитель и знаменатель в добавке P(1,n)/ xn-1 на общие сомножители и приведем ее к виду:
P(1,n)/ xn-1= 2cn3 /x2 + 2cn5 /x4+ 2cn7 /x6+…( 1+ 1 )/xn-1 (7)
В числителе каждого члена разложения представлены сочетания cnk – целые числа, распределение которых симметрично относительно центра с максимумом в точке (n+1)/2. В знаменателе – функция х2, нарастающая по квадратичному закону. В первой половине разложения (7) из-за нарастания числителя и относительной малости знаменателя образуется большая числовая сумма. Во второй половине разложения из-за убывания числителя и резкого увеличения знаменателя образуется числовая сумма значительно меньше первой. Отметим, что непосредственное определение параметра х предлагаемым способом доказательства предусматривается осуществлять с помощью метода последовательных приближений, при котором все подставляемые х, кроме начального, являются нецелыми числами. Следовательно, суммы в первой и второй половине разложения (7) , как результат деления числителей на нецелые знаменатели, будут нецелыми. Результат их суммирования будет также нецелым. Если в исключительном случае (что невероятно) предположить, что в полученной общей сумме после запятой вычислялись значащие цифры до принятого порядка, например 109 и все они оказались равными нулю, то последующий расчет до порядка 1010 , из-за малого приращения сделает сумму обязательно нецелой. Нецелой становится и P(1,n)/ xn-1 , а это означает, что теорема Ферма доказана для n>2 .
Обратимся теперь к правомочности принятия допущения а=b=1,2,3…. При доказательстве теоремы принято а=b=1. В общем случае а изменяется в пределах от 0 при у=х и n=1 до х при у=0. Ему соответствует изменение b в пределах 2 при а=0, n=1, до 0 при а=х. При х>y имеем:
. . Отсюда b≤x . (n√2-1). Рто неравенство соблюдается РїСЂРё всех изменениях Р°. Нас интересует выбор a Рё b. Р—Р° РёСЃС…РѕРґРЅРѕРµ принято Р°=1 потому, что РїСЂРё нем обеспечивается максимальное значение z Рё РѕРЅРѕ наиболее близко Рє предельному z=x n√2. Соответствующее ему b=1 принято РёР· следующих соображений. РЎ ростом n величина b уменьшается , РїСЂРѕС…РѕРґСЏ через точку b=2 РїСЂРё n =1, точку b=1,657 РїСЂРё n=2, далее переходит через точку b=1 РїСЂРё неизвестном n Рё, становясь меньше 1, уменьшается РґРѕ 0 РїСЂРё увеличении n РґРѕ бесконечности. b=1 оказывается единственным целым числом для n>2, РїСЂРё котором возможны целые z.
Полнота Рё общность предлагаемого доказательства может быть проиллюстрирована также возможностями частных доказательств теоремы, вытекающих РёР· следствий общего доказательства, РїСЂРё целых положительных Рё отрицательных x Рё y. Благодаря допущению a=b=1, исходные x, y, z оказываются расположенными СЂСЏРґРѕРј РЅР° расстоянии 1 РґСЂСѓРі РѕС‚ РґСЂСѓРіР° РІ следующей последовательности: x-1, x , x+1. Рто свойство может быть использовано для доказательства теоремы Ферма РїСЂРё помощи треугольников Пифагора, числовых степенных СЂСЏРґРѕРІ Рё РґСЂ. Треугольники Пифагора РїСЂРё n>2 отражаются РЅР° плоскости xOy РІ РІРёРґРµ остроугольных треугольников РІ квадрантах плоскости xOy I Рё IV или тупоугольных квадрантах II Рё III. Для первых характерно xn+(x-1)n
cos B = 0,5-1,5/(x-1).
Для вторых xn+(x-1)n>(x+1)n и отрицательный cos B. Нецелость теоремы Ферма доказывается через нецелость cos B в искаженных треугольниках.
При использовании элементов уравнений Ферма xn, yn, zn в качестве составляющих элементов числовых степенных рядов представляется возможным при n>2 и a=b=1,2,3… непосредственно убедиться в нецелостности z при суммировании в рядах xn=(2n)n и yn=(2n-1)n .
РћСЃРѕР±РѕРіРѕ внимания заслуживает вероятностный РїРѕРґС…РѕРґ Рє доказательству теоремы Ферма. Его сущность заключается РІ использовании степенных СЂСЏРґРѕРІ, состоящих РёР· порядковых натуральных чисел 1,2,3… Рё РёС… степеней 1n,2n,3n…Между степенями размещаются порядковые целые числа, Рє примеру, между 22 Рё 32 находятся числа 5,6,7,8. РР· РЅРёС… нельзя извлечь целые квадратные РєРѕСЂРЅРё так как РѕРЅРё находятся между РґРІСѓРјСЏ СЂСЏРґРѕРј стоящими целыми числами. Рто позволяет утверждать, что любая степень РІ СЂСЏРґСѓ содержит СЃСѓРјРјСѓ всех предыдущих степеней, которые РїСЂРё извлечении РёР· РЅРёС… корней дает как целые, так Рё нецелые РєРѕСЂРЅРё РїСЂРё всех степенях n. Следовательно, для каждого x можно определить вероятность (частость) P= x/xn , РіРґРµ РІ числителе целые x, Р° РІ знаменателе – СЃСѓРјРјР° целых Рё нецелых x, или после сокращения РЅР° x: P=1/xn-1 , РіРґРµ 1 – одиночное событие, Р° xn-1 – РњРћР–, Математическое ожидание количества экспериментальных попыток для получения 1-РіРѕ события (широко используется РІ артиллерийской практике). Если теперь предположить, что РІ степенных рядах находятся уравнения Ферма xn+yn=zn, удовлетворяющие условию a=b=1,2,3… Рё РѕРЅРё дают нецелые решения z РІ рядах(СЃРј. изложенное выше), то для РЅРёС… РІ тоже время можно определить вероятность получения целых z P=1/(xa+a)n-1 Рё РњРћР– = (xa+a)n-1 .
Рассмотрим на конкретном примере условия получения целого z для n=4 при условиях: a=b=1; x=2*4=8; z=8+1=9. Для них P=1/93 и МОЖ=729 – Столько потребуется экспериментальных попыток из сочетания x и y , чтобы получить одно целое z. (Число m=38 определяется из соотношения =m!/2!(m-2)!=((m-1)*m)/2=729. Решая уравнение m2-m-1458=0, получим m примерно равно 38) Для нецелых z =36
РЎ ростом x Рё n РњРћР– резко возрастает, что ставит РїРѕРґ сомнения возможности экспериментальных проверок. РџСЂРё n=3 Рё 4 эти возможности реально существуют Рё могли Р±С‹ стать подтверждением наличия целых z РїСЂРё n>2 для n=3 РІ окрестностях x=6, y =5 РїСЂРё РњРћР–=49; для С‚=4 x=8; y=7; РїСЂРё РњРћР–=729. Рто позволило Р±С‹ судить Рѕ двойственности теоремы Ферма более конкретно, Р° СЃ РґСЂСѓРіРѕР№ стороны, оценить правомочность вероятностного РїРѕРґС…РѕРґР° Рє оценки теоремы Ферма.
В заключение, помимо сказанного, следует добавить: предложенный способ доказательства достаточно просто и убедительно освещает причину нецелых решений z при n>2 и целых решений при n=2. Он позволяет рассматривать доказательство, как единый процесс, распространенный на все показатели степеней, начиная с n=1 и расстояний от исходного x=2 при n=1 до бесконечности.
Теорема на плоскости xOy – достоверна, как при положительных целых x, y так и отрицательных x, y, за исключением квадрантов II и IV плоскости xOy при нечетных n, где она не имеет смысла (рассмотрение xn-yn=zn теоремой не предусмотрено)
Есть основание полагать что при n>2 уравнения Ферма могут иметь целые решения для z, что потребует трудоемких экспериментальных исследований для их подтверждения.
РЎ уважением: Рќ.Р.Пичугин Ветеран Р’РћР’ Рё Р’РЎ, Рнвалид II РіСЂСѓРїРїС‹
Список литературы
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://ref.com.ua